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平面几何体系结构的分析与思考

作者 :本站编辑更新时间:2012-11-11

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自从欧氏几何体系建立以来,几何与演绎推理结下了不解之缘,几何教学培养学生逻辑推理能力的认识在人们的心目中根深蒂固。
  新中国成立以来,数学教学大纲、数学教材虽历经多次变革,但初中几何的内容和目标(运用演绎推理的方法,依据扩大的公理体系证明一些平面图形的性质)都没有发生根本性的变化。因而在许多人心目中,几何与证明是等价的。
  几何内容的这种过分抽象和形式化,使其缺少与现实的紧密联系,使几何的直观优势没有得到充分发挥,而过分强调演绎推理和形式化使不少学生惧怕几何,甚至厌恶几何、远离几何,从而丧失学习数学的兴趣和信心。
  

  《数学课程标准》力图改变这种状况,从内容上来说,在传统的平面几何之外,增加了一些与“空间”有关的内容,对传统平面几何内容增加了“探索过程”的要求,同时还增加了有关变换、坐标等方面的内容。
  根据《数学课程标准》的精神,北师大版初中数学教材对“空间与图形”中的平面几何内容采用了两阶段的处理方式,即实验几何阶段和证明几何阶段:从七年级上册一直到八年级下册最后一章之前,基本都是采用实验的方法认识图形性质;从八年级下册最后一章才开始引入演绎证明的方法,而证明的大部分结论都是前面曾经探索过的结论。
  对于这种处理方式,一些实验区教师存有异议:
(1)在近三分之二的时间里不学习严格的证明表述方式,学生做作业时随意性太大,很不规范,给教学带来了混乱。(2)在这么长的时间内不学习证明,学生的几何证明能力很难得到保证。(3)学生在实验几何阶段已经学习了大部分几何结论,到了证明几何阶段又对其中的一些结论进行证明,学生觉得是一种重复,没有必要。
  实际上这些意见涉及到某些深层次的问题,比如,如何理解平面几何的教育价值?如何定位演绎证明在初中数学学习中的地位和作用?教材编写如何处理实验探索与演绎证明的关系?等等。
  

  分析一下过去《数学教学大纲》的平面几何内容,可以发现,它有两条主线:一条是知识体系,即线段、角—相交、平行—三角形—四边形—相似形—解直角三角形—圆;另一条主线是使用的主要方法,即演绎证明的方法。由此不难看出,系统性的知识和严谨的证明是《数学教学大纲》的主旋律,也是过去教材的灵魂所在。
而《数学课程标准》认为:(1)人们认识周围世界的事物,常常需要描述事物的形状和大小,并用恰当的方式表述事物之间的关系。所以,认识或把握空间与图形的性质,借助形象、直观的图形进行合情推理,这是描述现实世界空间关系、解决学生生活和工作中各种问题的必备工具,也是空间与图形课程的主要任务。(2)认识或把握空间与图形性质的方法、途径是多种多样的。比如,既可以通过折纸、实验等手段认识图形,也可以通过变换认识图形,当然推理也是认识图形的重要方法。(3)就推理而言,不仅包括演绎推理,而且也应包括合情推理。几何作为一个演绎体系,它的教育价值(合乎逻辑的思考与推理)不是独有的。
  基于此,《数学课程标准》把认识或把握空间与图形作为主旋律,以图形的认识、图形与变换、图形与位置(坐标)、图形与证明四条线索展开空间与图形的内容。也就是说,《数学课程标准》把过去《数学教学大纲》中“演绎证明”这一条主线变为四条线索,或者说,由一条“通道”变为四条“通道”。
  表现在教学要求上,几何证明由“全局性”的要求下降为“局部性”的要求;几何证明的数量大大减少了,几何证明的繁难程度大大减弱了。
  

  为了实现《数学课程标准》的这一意图,北师大版初中数学教材选择了“两阶段”的处理方式。在实验几何阶段,《数学课程标准》中“图形的认识”所要求的多数几何命题都通过各种实验方式获得;到了证明几何阶段,再建立一个相对清晰的局部公理体系,对一些结论进行证明。
  这种处理方式在体现《数学课程标准》的精神方面有许多长处:
  (1)有利于体现研究图形方法的多样化。因为实验几何阶段尚未引入证明,这样就为用非证明手段研究图形提供了比较充分的时间和空间,同时还可以限制证明的使用,防止在证明方面“深挖洞”。具体来说,在七年级上册和七年级下册的大部分内容中,研究图形主要采用了实物操作、折纸、画图、度量等直观方法;从七年级下册最后一章开始,一直到八年级下册最后一章之前,逐步引入变换的方法和坐标的方法,并将这些方法应用于图形的研究过程中;八年级下册最后一章和九年级上册,介绍演绎证明的方法,并证明了与平行线、三角形、四边形有关的一些命题;九年级下册运用各种方法研究圆。随着学习的不断深入,研究图形的方法不断丰富(如下图)。
实物操作等直观的方法

实物操作等直观的方法+变换的方法

实物操作等直观的方法+变换的方法+坐标的方法

实物操作等直观的方法+变换的方法+坐标的方法+演绎证明的方法
  
当然,演绎证明的方法并不是突然出现的,在实验几何阶段就有计划地逐步提出并加强说理的要求,为演绎证明做好铺垫。
  (2)有助于感受公理化思想。如果把欧氏几何比作一个“城市”,那么证明阶段所构建的局部公理体系就可以看成是这个“城市”的“微缩景观”。一个身在“城市”之中的人可能无法感受其整体面貌,但当他站在“微缩景观”前面时,就对这个“城市”一目了然了。
  这种处理方式也有其不利的一面:
  (1)部分内容前面已经探索过,后面又要证明,会有一定的重复。
  (2)证明几何靠后,可能会给实际教学带来一些问题。例如,在实际教学时,九年级为应付中考,要提前结束课程,证明出现较晚不利于学生掌握综合法的证明方法。
  除了“两阶段”的处理方式外,还有没有其它处理方式呢?当然有,比如“直线式”的处理方式,即边探索边证明。尽管开始也有一些实验几何的内容,但很快就引入证明。引入证明之后,对不同的几何命题采取不同的处理方式:对《数学课程标准》要求证明的命题,先用实验方法探索,然后马上证明;对《数学课程标准》不要求证明的命题,仅采用实验方法获得。因此,总体上没有明显地划分为两个阶段。
  这种处理方式的优点是:
  (1)内容一般不会出现重复。
  (2)学生接触证明较早,有利于掌握综合法的证明方法。
  这种处理方式的缺点是:
  (1)实验探索和证明同时进行,很容易厚此(证明)薄彼(实验探索),甚至使实验探索成为可有可无的环节,而演绎证明由“手段之一”变为“唯一手段”。
  (2)由于较早引入证明方法,使演绎方法与实验方法混在一起,有些结论是借助实验方法获得的,有些结论则是通过证明得到的,但它们又都是后面证明新的结论的依据,这样就容易模糊证明的逻辑起点,不利于学生感受公理化的思想。
  
  总之,不同的体系结构都有自己的优势和不足,如何整合各种处理方式的长处,使北师大版教材逐渐完善,这是一个需要不断思考的问题。例如,在“两阶段”方式的前提下,是否可以在实验几何阶段适当引入较为规范的、与证明几何阶段一致的书写方式?这样做既可以减少实验几何阶段学生在书写方面出现的混乱,也有利于证明几何阶段学生顺利掌握综合法证明的书写方式。又如,能否改进证明几何阶段的内容,使之有层次上的“跃升”,减少简单重复,等等。
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