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对于知识的学习,“理解”无疑是第一位的。当学生获得了理解的知识,他们能够应用这种知识去学习新的主题和解决新的问题。缺乏理解,学生的各个知识是孤立的,难以应用它们去解决问题,也无从延伸学习新的内容。
在数学学习中,我们经常发现学生存在以下三个问题:(1)“懂而不会”。上课能听懂教师讲解的基本内容,但下课自己独立求解问题时,就处处受阻。(2)“怕综合考”。有些学生学习踏实,在每一小节知识学习中,表现较好,可一到综合考试,就考得不尽如人意。(3)“高分低能”。有些学生基本功扎实,在各种考试中总能取得高分,但很少表现出创造性。分析得出其中一个共同的原因是学生对数学知识的理解还处于较低的层次。那么数学理解的层次性包括哪些基本内涵?对于教师而言,有什么可行的途径来提高学生的数学理解水平呢?
一、关于学生数学理解的一个典型案例
对于教师来说,如何及时了解学生对数学知识的理解程度,从而为后进教学提供依据?笔者认为通过分析学生解题表现可以发现他们对于数学知识的理解处于何种水平。为了便于阐述,下文将以举例来进行说明—如图所示,求函数y= 的解析式。
1.学生的解题表现
本道题是学生在学完三角函数这一章之后在一节复习课上提出来的。学生对于A、w求解一般没问题。但对于 的求解却有多种方法,光看解答过程有时很难完整反映学生内在思维,因此每个学生除了写出解题过程,还要说明解题依据,这两者构成一个学生的解题表现,下面把学生求 的解题表现列表如下,以便于客观地分析出每个学生的理解水平。
表1:学生不同解题表现
2.对学生表现的分析
从以上表格可以得出这样一个结论:不同学生对三角函数与三角函数图象认识水平是不同的,具体分析如下:
学生1基于经验盲目套用取点代入求参数的解题模式,得出两解,说明学生1并没有认识到三角函数首先是一种函数,而函数的图象与表达式之间是一一对应的,其次他也没有认识到三角函数的特殊性,任取一点求参数可能有多解。其他三个学生都是不同程度地利用了三角函数及图象的特征。
学生2从解的唯一性出发,选取最高点求参数。反映出学生2既理解函数与图像之间的本质关系,同时又非常了解三角函数的映射特征。
学生3把握住了图像的五个关键点在图像变化趋势中的不同作用。而对于学生1来说三个零点 地位是一样的,都是表示图像与x轴的交点。学生3把所要求解的函数图像与函数 的图象进行类比,而且利用一一对应的数学思想把二者联系起来。即把函数 的图象中的五点 与原题中的五点 进行对应。但这种对应停留在直观化水平,并没有上升到一般化的两个变量x与wx+ 之间的对应关系,学生3并没有真正认识到函数y= 与 与之间的内在联系。
学生4与学生3一样都利用了函数y= 与 之间的联系来解决问题,所不同的是学生4已脱离了对应这一个动态过程,把函数 当成一个整体的对象,这个对象通过平移、伸缩得到函数的图象。相比学生3,学生4对函数的认识更为深刻,表现在两个方面:一是对函数概念的认识上。和其他数学概念一样,认识函数概念往往经过由过程(对应)开始,然后转变为对象的认识过程。把函数作为对象是认识函数的综合表象阶段,将函数概念的动态过程转变为抽象的结构对象便可整体掌握函数。即学生3对函数概念的认识停留在过程阶段,而学生4已达到了对象阶段。另一个是学生4运用了变换的思想来解释函数y= 与 之间的联系,体现了函数思想与变换思想的结合。
二、关于数学理解的一个考察维度:层次性
通过上述例子的分析,我们可发现这4位学生对此知识点的理解处于不同的水平。不同学生对数学知识理解是存在不同层次的,或者说,学生对于数学理解具有一个明显的特征:层次性。仔细分析上述例子,笔者发现可以用3个水平来反映这种层次性,即操作性理解、关系性理解、迁移性理解。
操作性理解是指个体懂得数学的某个事实、技能与概念,了解某个原理,懂得某个技能的操作步骤。具体表现为:能够解决知识点较单一的题目,适合于解决操作性强,有固定解题模式的问题,不能体会数学知识中蕴涵的数学方法与数学思想。学生1会解简单的三角方程,能模仿常用的取点求表达式的模式,学生3只须利用图像中的五个点特征,便能得到正确结果。这两个学生在解题中采用的是一些简单技能,这些技能操作性强,可模仿,通过一定量的练习便可学会,但无助于对知识本质的深刻理解。这两个学生对于三角函数只达到操作性的理解层次。所学知识是有林无木,在解决不熟悉问题时缺乏思维独立性与灵活性。
关系性理解是指个体对数学的本质与规律及相关联事物的深刻认识,能够在纵横联系中认识数学,表现为能够理顺概念间的上位、下位、同位关系;能够运用所学知识与经验同化、概念新知识;能把握数学知识之间的内在联系;能够运用所学知识解决一些综合性问题。学生2对三角函数本质有着深刻认识,他既能把三角函数纳入原有的函数知识结构中,又能利用三角函数特殊性灵活选取特殊点迅速获得结果。反映了学生2具有活性又灵动的数学知识网络结构,他已达到了关系性理解的层次。这类学生面对综合性问题时能迅速在头脑中激活知识链,完整提取相关信息。
迁移性理解是指个体在关系性理解的基础上能够将数学思想、方法以及所学数学知识迁移到别的场合。达到迁移性理解水平的学生能够在解决陌生情境问题时表现出思维的创造性。学生4对函数的认识已达到对象阶段,这是对函数概念理解的较高层次,他是在数学思想的引领下获得问题的解。相对于数学知识和技巧而言,数学思想具有概括性强、包摄性强,对各种知识强有力的解释效应等特征,比较容易产生迁移,从而在面对陌生问题时能在数学思想的指引下创造性地解决。
三、提高学生数学理解层次的建议
显然,提高学生数学理解的层次是数学教学的一项重要任务,笔者认为在教学中可从以下三个方面做出努力。
1.注重整体性教学。从系统论的观点看,整体的功能大于部分的功能,而整体的功能又取决于各部分的联系。因此,新知识的教学不能孤立进行,应把新知识纳入原有的观念系统中进行整体考虑,使新知识与原有相关知识相联系,并把这些有联系的知识重组为一个整体。例如学完三角函数的36个诱导公式之后,如不作进一步组织加工,那么这些孤立的知识是难以保持和应用的。教师可引导学生通过观察、分析,最后概括为一个小整体,“奇变偶不变,符号看象限”,就大大优化了数学认知结构。在后继学习中,继续引导学生从“函数”这样一个整体概念体会诱导公式的实质是三角函数图象对称性的一个具体应用而已。这样从小整体到大整体的学习中始终注重知识之间的内在联系,有助于学生对数学知识的理解达到关系性理解。
2.注重变式教学。变式就是使提供给学生的直观材料或事例不断变换呈现的形式,以便其中的本质属性保持恒在,而非本质属性则不常出现(成为可有可无的东西)。变式教学泛指知识形成过程中的问题设计,基本概念辨析型变式;定理、公式的深化变式,变式应用;例题、习题的一题多解、一法多用、一题多变、多题归一;教学方法的灵活多变等。如本例中部分学生对y=sin2x与y=sinx之间的伸缩关系是借助于周期的概念,增加一个变式题:试说明函数y=lg(2x+1)的图象可由函数y=lgx的图象经过怎样的变换得到?通过该题的解决可促使学生用点的对应思想来思索两个函数图象之间的内在联系,这也正是理解由函数y=f(x)图象变换到 的关键所在。因为从一个函数图象经过变换得到另一个函数图象的过程,也就是两个函数图象之间的点实施一个一一对应的过程。在此理解基础上,学生可创造性地解决对称变换问题,如理解函数y=f(x)的图象与函数y=-f(x)等函数图象内在联系。因此变式教学可促使学生在关系性理解的基础上,实现知识的迁移性理解。
3.鼓励学生反思。反思是对数学学习思维活动的过程进行回顾性的思索,以获取学习的经验或教训。从理解学习的角度看,如果只做不想,不去反思,那么,不仅错误的做法得不到纠正,合理完善的数学认识结构也得不到重新组合,从而阻碍了学生的理解。有两种重要的反思:一种是在学生解决问题的过程中引导他们反思正做什么,为什么这样做;另一种是当问题解决好以后,引导他们反思问题和解。通过这两种反思帮助学生更有效地重组数学知识,有意识地了解自身思维后面潜藏的元认知,促使学生进一步认识到数学知识的本质,领会数学思想的精髓,从而达到较高层次的理解。 职称论文发表网http://www.issncn.com
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