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摘 要 实证研究发现,大多数金融资产具有厚尾特征。根据极值理论(EVT)适合描述金融资产收益厚尾分布这一特点,把它和金融资产的动态风险度量模型相结合,建立了GARCH—GEV动态风险度量模型,并通过深证综指对其进行了实证分析,给风险防范提供了一定的参考。
关键词 VaR GARCH模型 EVT BMM广义极值分布
中图分类号 F224.7 文献标识码 A
1 引言
近20年来,随着世界经济一体化的发展及衍生工具市场的飞速发展,金融市场得到了迅猛地发展,同时也带来了市场波动性的加剧和市场风险的复杂化。为了防范和控制金融风险,加强和完善金融风险管理,诞生了各种结合金融工程理论和数学方法的风险计量和管理工具。其中,由J.P.Morgon集团提出的VaR(Value-at-Risk)风险管理技术可以测量风险,即将风险定量化,是目前金融市场风险管理的主流方法,在国际市场上得到了广泛的应用,并逐渐成为金融风险管理的国际统一标准。
Philippe Jorion给出了VaR的一个比较权威的定义。VaR风险管理技术主要是考察资产损失的尾部特征,它是通过求VaR值提供一些不经常发生,但又不该忽视的极端事件的信息,从而对可能遭受的损失采取防范措施。实证研究发现,大多数金融资产具有厚尾(Heavy Tailed)现象,利用传统的正态分布方法或非参数方法将造成对VaR的低估,然而利用极值理论可以更好地估计厚尾资产的VaR。这种方法不需要对整个回报做任何假设,而是让数据说话,仅仅拟合分布的尾部,很适合度量风险。因此,本文根据极值理论(EVT)适合描述金融资产收益厚尾分布这一特点,把它和金融资产动态风险度量模型相结合,建立了GARCH—GEV模型,并通过深证综指对其进行了实证分析,给风险防范提供了一定的参考。
2 金融资产风险价值的动态度量模型
由于金融资产价格和收益率波动的持续性、方差波动的剧烈性,金融风险也具有持续性。大量文献研究表明,随机波动率模型能很好地描述金融资产收益率序列的动态变化特征。令Yt代表金融资产负对数收益率,是严格平稳的时间序列,其中t为整数。假定Yt由以下动态方程给出:
Yt=μt+εt
其中εt=σtZt,修正项Zt是具有零均值,单位方差,边际分布函数为FZ(z)的严格白噪声(独立同分布)过程。μt和σt分别表示条件均值和条件方差。
当0<α<1(α通常大于0.9)时,非条件分位数为边际分布的分位数:
VaRα=inf{y∈R:FY(y)≥α}
条件分位数为h步预测分布的分位数:
VaR■■(h)=inf{y∈R:F■(y)≥α}
原则上只对一步预测的分位数VaR感兴趣,用VaR■■表示。由于
F■(y)=Pr{μt+1+σt+1Zt+1≤y|Ωt}=Pr{Zt+1≤■}=FZ(■)
因此,
VaR■■=μt+1+σt+1Zα (1)
Zα为Zt边际分布的上侧α分位数。
一般假设Zt的分布与时间无关,即恒定不变。通常可以采用ARMA模型计算条件均值μt,GARCH模型计算条件方差σt。很多学者在计算VaR■■时,假设随机扰动项Zt服从标准正态分布,t分布或广义误差分布(GED),然后根据极大似然估计方法估计ARMA和GARCH模型的参数,得到μt和σt。在通常假定εt服从条件正态分布的GARCH模型中,GARCH模型只能部分解释时间序列的尖峰与厚尾特征。McNeil和Frey的实证研究表明,在置信水平q>0.95时,假设随机扰动项Zt服从正态分布的GARCH模型通常会低估VaR。尽管假设Zt服从t分布和GED分布时符合这些特征,但是它们的上、下尾分布是对称的,而实际中Zt的偏度不等于零,表现出非对称性。这表明Zt也不服从t分布和GED分布。为此,本文用极值理论中的GEV分布(广义极值分布)来描述收益率的尾部分布。
3 广义极值分布—BMM模型
极值理论是研究次序统计量的极端值分布特性的理论。极值理论给出了一些关于价格或收益率的极值统计分布有重要意义的结果:极值的极限分布与其本身的分布相互独立,即所有的不同分布都有相同的极限分布,区别仅在于参数值的不同。极值分布只研究极端值的分布情况,它可以在总体分布未知的情况下,依靠样本数据,得到总体中极值的变化性质,具有超越样本的估计能力。
通常有两类度量VaR的极值模型,即BMM模型(Block Maxima Model)和POT模型。POT模型是对观察值中所有超过某一较大门限值(Threshold)的数据建模,BMM模型主要对组最大值(Block Maxima)建模。由于在用POT模型时,VaR值对门限值十分敏感,而门限值的选择方法又不统一,对不同的数据、不同的门限值选择又有不同的效果。因此,本文运用的是基于GEV分布的BMM模型。
BMM模型就是对样本数据进行分组,取每组的最大值,则最大值序列渐近服从于广义极值分布(GEV),再利用样本数据估计广义极值分布中的参数。从而得到损失严重程度的分布。
GEV分布的形式为:
Hξ,μ,σ(y)
=exp[-(1+ξ■)-1/ξ],ifξ≠0,1+ξ■>0exp[-exp(-■)],ifξ=0
其中ξ是形状参数,μ是位置参数,σ是尺度参数。由于金融数据大都有一个正的形状参数,而极大似然估计在ξ>-1/2时提供了很好的估计,因此我们用极大似然估计法来估计分布参数。则置信水平为α的VaR值就是分布函数Hξ,μ,σ(y)的α分位数,即从Hξ,μ,σ(y)=α等式解出y的值:
VaRα=μ+■[(-logα)-ξ-1] (2)
4 条件极值理论:GARCH—GEV模型
传统的无条件极值理论虽然直接研究金融资产收益率分布的尾部,但它忽略了收益率分布是时变的。ARMA—GARCH动态风险度量模型虽然采用了条件均值和条件方差,但却关注整个分布,而不是直接对风险管理所关心分布的尾部建模。Diebold等、McNeil和Frey. R.、封建强初步探讨了把极值理论和GARCH进行组合的可能性。本文在遵循上述学者的研究思路基础上,把BMM广义极值分布理论和ARMA—GARCH模型进行组合,建立了GARCH—GEV模型。
用AR(1)—GARCH(1,1)模型来拟合资产收益率时序,即:
yt=c+?准yt-1+εt,εt:(0,σ■■)σ■■=α0+α1ε■■+α2σ■■μt=c+?准yt-1
参数集为Φ={c,?准,α0>0,α1>0,α2>0},再假定修正项Zt=■:Hξ,μ,σ(z),则所叙述的模型就是GARCH-GEV模型。
对于AR(1)—GARCH(1,1)模型的参数,我们用极大似然方法来估计。把参数估计量代入AR(1)—GARCH(1,1)模型通过迭代可得到yt的均值和标准差序列:
(μ2,L,μn)=(c+?准y1,L,c+?准yn-1)、(σ2,L,σn),
于是可求得修正项序列为:
(z2,L,zn)=(■,L,■),
接下来对z2,L,zn进行分组,取每组的最大值,组成一个新的序列,对这个序列用GEV分布来拟合。GEV分布中的参数也用极大似然法来估计,再把分布参数代入式(2)求得修正项序列的VaR,最后将修正项序列的VaR代入式(1)可以预测t+1时刻的VaR:
VaR■■=μt+1+σt+1(μ)(3)
5 实证比较研究
因为分析VaR考虑的是极端的事件,而这样的事件发生的概率很小,在短时间内有可能不会发生,因此要考虑大范围内的数据即大容量的样本。由于风险管理更关注极小值,而本文前面理论主要讨论极大值分布理论。因此,我们选取深证综指从1997年1月2日到2003年12月31日的1 684个日收盘价数据,采用每日负对数收益率的百分数rt=-100·(lnpt-lnpt-1),根据极大值分布理论进行实证比较研究。以下所有的数据结果及图表内容,都是笔者采用Evi…… 职称论文发表网http://www.issncn.com
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