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不等式(组)的巧用

作者 :刘 金更新时间:2012-10-31

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摘 要:自然界中绝对的相等时不存在的,相等与不等是相对的。那么在中学数学中为什么关于“相等”的问题学的很多,而关于“不等”的内容介绍的很少呢?这是由学生的认识水平决定的。为此适当引进不等式的实际应用就显得尤为重要。
关键词:不等式;整数解;实际应用
不等式是数学教学中十分重要的内容,在新的课程标准中已明确提出具体目标要求:1、能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义,并会探索不等式的基本性质。2、会解简单的一元一次不等式(组),并能在数轴上表示他的解集。3、能够根据实际具体问题中的数量关系,列出一元一次不等式(组),利用它的特殊解解决简单的实际问题。其中第三个目标,就是应用所学的不等式(组)的知识来分析和解决实际问题的要求。

一、比较明显的可以应用不等式(组)来解决问题

例1:在一次“人与自然”的知识竞赛中,竞赛试题共有25道题,每一题都给出四个答案,其中只有一个答案正确,要求学生吧正确的答案选出来,每道题选对得四分,选错或不选的扣2分。如果一个学生在本次竞赛中得的分数不低于60分,那么他至少得选对多少道题?

分析:根据题意发现明显有提示的字眼:“不低于”,可列出不等式。

略解:设选对的题数是x道,则选错或不选的题数是(25-x)道,由题意可得:4x-2(25-x)≥60,

解之得:x≥110/6. 又∵x只能取整数

所以至少选对19道题。

分析:上题有较为明显的提示字眼“不低于”,因此比较容易想到利用不等式来解决。

二、不明显的应用不等式(组)来解决问题

有时用不等式的字眼不明显,比较隐蔽,需要认真挖掘隐含的实际意义,才能列出不等式(组)。

例2:某化工厂有甲种原料360千克,乙种原料290千克,计划利用这两种原料生产产品共50件。已知生产一种A型产品,需要甲种原料9千克,乙种原料3千克,可获利700元;生产一种B型产品,需要甲种原料4千克,乙种原料10千克,可获利1200元。

1、按要求安排A、B两种型号产品的生产件数,有几种生产方案?请你设计出来。2、设生产A、B两种型号产品总获利为y(元),其中一种的生产件数为x件,试列出y与x之间的函数关系式,并利用函数的性质说明(1)中的哪种生产方案所获利润最大?最大利润是多少?

分析:此题从文字意义上找不到明显的列不等式(组)的语句,最易列出方程。但从实际意义上考虑:生产50件产品不容许把原料全部用完(用不完更好),隐含着利用不等式(组)来解决问题。

解;1、设生产A种型号产品x件,则生产B种型号产品(50-x)件,由题意可得:

不等式组: 9x+4(50-x)≤360 ①

3x+10(50-x)≤290 ②

解之得:30≤x≤32

∵x只能取整数 ∴该不等式组的整数解为30、31、32.

即生产方案共有三种:

方案1、生产A种型号产品30件,B种型号产品20件;

方案2、生产A种型号产品31件,B种型号产品19件;

方案3、生产A种型号产品32件,B种型号产品18件。

2、设生产A种型号产品的件数为x件,则生产B种型号产品(50-x)件,由题意可得:

利润y=700x+1200(50-x)=-500x+60000

又∵-500<0, ∴该一次函数中y随x增大而减小。

∴当x=30时,y的值最大。

即:按照第一种生产方案来安排生产,总获利最大,最大利润是:-500*30+60000=45000(元)

评析:本题的难点在于文字长、数据多、结论不唯一,具有一定的探索性,且贴近生活,综合了不等式(组)、函数等知识与方法,但学生容易犯以下三种错误:

1、列出方程9x+4(50-x)=360和3x+10(50-x)=290,

解出x=32和x=30,不知道该如何回答后面的问题。 2、列出方程9x+4(50-x)+3x+10(50-x)=290+360,解出x=20. 3、9x+4(50-x)+3x+10(50-x)≤360+290,解出x≥20,后面的问题也是同样不知如何回答。

三、间接应用不等式解决问题

例3:某单位计划10月份组织员工到A地旅游,人数估计在10到25人之间,甲、乙两旅行社的服务质量相同,且组织到A地的价格都是200元,该单位联系时,甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠;乙旅行社表示可免去一位旅客的旅游费用,其余游客八折优惠。问该单位应该怎样选择,使其支付的旅游总费用较少?

分析:怎样选择旅行社,实质上就是对两个旅行社的费用进行比较,即:间接利用不等式来解决问题。

解:设该单位到A地旅游的人数为x人,选择甲旅行社的费用为y1元,选择乙旅行社的费用为y2元。由题意可得:

y1=200*0.75x=150x,

y2=200*0.8(x-1)=160x-160.

1、若y1=y2,解得:x=16;2、若y1<y2,解得x>16;3、若y1>y2,解得x<16。

所以:当人数为16人时,选择甲或乙旅行社支付的费用一样;当人数为17-25人之间时,选择甲旅行社的总费用比较少;当人数为10-15人之间时,选择乙旅行社的总费用比较少。

综上所述,可以看出在应用不等式(组)解决问题时,有时有明显提示有时则没有,这就需要我们在数学教学中教会学生如何研读,找出条件所在,列出不等式(组)求解问题。
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