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分级单屈服面模型的参数优化

作者 :王德玲1 沈疆海2 葛修润3更新时间:2012-11-13

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摘 要 对封闭型分级单屈服面模型参数中的阶段改变参数和硬化参数的优化进行了研究。先建立了它们的优化模型,即建立了优化目标函数,确定了约束条件;然后采用拟牛顿法进行优化;对初始步长进行了修正,以避免方向不理想时对修正量的过大估计。优化结果表明,用优化的硬化参数预测的岩石应力——应变曲线的弹塑性部分更接近试验曲线。
关键词 分级单屈服面模型 参数优化 拟牛顿法 初始步长
中图分类号 TU45 文献标识码 A
1 分级单屈服面模型的简介
封闭型分级单屈服面模型(HISS,Hierarchical Single Surface),是美国Desai教授于1984年提出的本构模型,分δ0,δ1,δ2,δvp等几个等级描述不同复杂程度的反应,如关联的各向同性硬化、非关联的各向同性硬化、各向异性硬化、粘塑性等等。δ0模型是HISS模型中最基本的模型,主要用来描述各向同性强化和相关联塑性。其屈服函数:
F=■2D-(-α■n1+γ■21)(1-βSr)m=0(1)
式中,n是阶段改变参数,阶段改变是指体积变化从压缩改变为膨胀,或体积变化为零。α为硬化系数,其简单形式为a=■。*9孜=■(d*9着■■ d*9着■■)■是塑性应变增量d*9着■■沿应变路径的累积,即累积塑性变形。η1指硬化率,α1相当于α的极限值。
参数的常规取值:
(1)参数n。根据对大理岩和红砂岩的试验,发现破坏的发生距离阶段改变处不远,此时阶段改变线和极限包络线几乎重合,取稍大于2的值是比较合适。
(2)硬化参数α1和η1。根据α的简单表达形式,有1nα+η11nξ=1nα1。
这样,根据应力-应变曲线上应力峰值前若干点的lnα和lnξ,画出lnξ~lnα坐标中的一条平均直线,直线的斜率为η1,沿lnα轴的截距则为lnα1。
2 参数优化的数学模型
以上是模型参数的常规求法,为寻求它们的最优值,本文采用拟牛顿法进行优化。优化问题的数学模型由优化变量、目标函数和约束条件组成。
(1)优化变量。这里选择的优化变量为:阶段改变参数n;硬化参数α1,η1。
(2)目标函数。优化目标是用HISS-δ0模型预测的弹塑性应力-应变曲线尽量接近试验曲线,即两者间的相对误差最小。故目标函数为:
min r(■)=■(2)
式中:■代表优化变量,f是试验曲线中样本点的应力值,f(■)指与样本点的应变值对应的HISS模型预测应力值。
(3)约束条件
对于阶段改变参数n,要求n>2;硬化参数α1>0,η1>0。为把约束优化问题转化为无约束优化问题,对优化变量进行处理:
取n=2+(n*)2,n*初始值可取为n*0=■(3a)
α1=(α1*)2 α1*的初始值α10*=■ (3b)
η1=(η1*)2 η1*的初始值η10*=■
(3c)
其中,n的初始值n0取为2;α1、η1的初始值α10、η10取前面介绍的取平均直线的方法(称之为常规方法)计算得到的值。
3 优化的具体算法
拟牛顿法是用不含二阶导数的矩阵Hk取代Newton法中的Hesse逆矩阵,再沿搜索方向d(k)=-Hkgk作线性搜索。其中,BFGS拟牛顿法是用著名的BFGS公式构造矩阵Hk。
3.1 算法
(1)给定初始点x(1)∈En,允许误差ε>0。
(2)置H1=In,计算出在x(1)处的梯度g1=*9荦f(x(1)),置k=1。
(3)令d(k)=-Hkgk。
(4)从x(k)出发,沿方向d(k)搜索,求步长λk,使它满足f(x(k)+λkd(k))=■f(x(k)+λkd(k))令x(k+1)=x(k)+λkd(k),计算gk+1=*9荦f(xk+(1))
(5)检验是否满足收敛准则,若满足gk+1≤*9着,则停止迭代,得到■=x(k+1)。否则进行(6)。
(6)若k=n(n为优化参数的个数),则令x(1)=x(k+1),返回(2);否则进行(7)。
(7)令p(k)=x(k+1)-x(k),q(k)=gk+1-gk,利用下面的公式计算Hk+1,置k:=k+1,返回(3)
Hk+1=Hk+(1+■)■-■(4)
3.2 初始步长估计
在迭代点x(k)和下降方向d(k)给定后,要求选择步长λk使得评价函数沿搜索方向有一个充分的下降,即f(x(k)+λkd(k))<f(x(k))。由于x(k)和d(k)已知,评价函数是关于λ的一元函数,故将求λk的问题称为一维搜索或线性搜索。线性搜索方法要求提供一个初始步长估计以开始线性搜索。一般来说初始步长的大小不影响搜索过程的收敛性,但不理想的初始估计在一定程度上增加了迭代次数,从而增加了工作量。
初始步长估计为λf=min(1,-2■)。其中ε为误差限值,-■相当于这样的理想情况:f(x)是x的二次函数,f(x(k-1))-f(x(k))作为f(x)沿着方向d(k)得到的下降量的精确估计。
在实际计算中,有时初始步长估计λf会导致对x(k)的修正量λfd(k)比前一次的修正量δ(k)=x(k)-x(k-1)大得多,由此引起搜索过程中函数值计算次数的增加,这种情形主要发生在方向d(k)的分量绝对值较大,g(k)Td(k)相对较小,即方向d(k)与g(k)接近正交时,这时一个不大的步长λf也可能引起较大的λfd(k)。因此,本文对初始步长进行修正,取
λini=min(λf,m2δ(k-1)/d(k))λf 其他
ifg(k)Td(k)/(g(k)•d(k))≤*9浊(5)
式中:η为预先指定的小正数;m2>1,可保守地取1.2。δ(k)为前次迭代x(k-1)的修正量。
初始步长估计(5)可在d(k)与g(k)的夹角接近π/2时,限制对x(k)的修正λ1d(k)不超过前次迭代修正量的m2倍,以避免方向不理想时对修正量的过大估计。
初始步长确定后,可采用Wolfe搜索准则求λ。
4 优化结果
4.1 优化阶段改变参数n
优化计算时只有阶段改变参数n这一个参数时,拟牛顿法中的H1=1,因而优化步骤相对简单些。优化结果;大理岩的n=2.064;红砂岩的n=2.0345。图1,图2表示了取不同n值对材料性质的影响。
4.2 优化硬化参数
当优化参数为d1,*9浊1时,拟牛顿法中的n=2。表1对比了常规方法计算的硬化参数与优化的硬化参数;图3、图4显示了大理岩、红砂岩用常规方法计算的硬化参数和用优化的硬化参数预测的应力-应变曲线的区别,可见,用优化的硬化参数预测的应力-应变曲线的弹塑性部分更接近试验曲线。
参 考 文 献
1 Desai C S, Somasundaram S, Frantziskonis G. A Hierachical approach for constitutive modeling of geologic material[J].International Journal of Numerical Methods in Geomechanics. 1986(3)
2 王德玲,葛修润.关于单屈服面模型的几个问题[J].岩石力学,2004(7)
3 徐成贤,陈志平,李乃成.近代优化方法[M].北京:科学出版社,2002
4 Fletcher R.游兆永,徐成贤,吴振国等译.实用最优化方法[M].天津:天津科技翻译出版公司,1990
5 Wolfe M A. Numerical methods for unconstrained optimization: an introduction [M]. London: Reinhold,1978
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